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그래프 알고리즘 (서로소 집합, 크루스칼, 위상 정렬) 본문

Algorithm/Learning

그래프 알고리즘 (서로소 집합, 크루스칼, 위상 정렬)

앵도라지 2023. 2. 3. 15:40

그래프 알고리즘은 코딩 테스트 단골 출제 문제는 아니다. 하지만 꼭 알아야 하는 알고리즘 중 하나라고 할 수 있다.

 

그래프 알고리즘에 대한 팁은 “서로 다른 객체가 연결되어 있다(여러 개의 도시가 연결되어 있다)”라는 표현이 들어가면 대체로 그래프 알고리즘을 활용해야 하는 문제일 가능성이 높다.

 

또, 트리 자료구조는 다양한 알고리즘에서 사용되므로 꼭 암기해야 한다. 트리 자료구조는 부모에서 자식으로 내려오는 계층적인 모델에 속한다. 최소힙은 항상 부모 노드가 자식 노드보다 크기가 작은 자료구조로서 트리 자료구조에 속한다.

 

 

그래프의 구현 방법은 2가지 방식이 존재한다.

  • 인접 행렬 : 2차원 배열을 사용하는 방식
  • 인접 리스트 : 리스트를 사용하는 방식

2가지 모두 사용된다.

 

 

1. 서로소 집합

1-1. 서로소 집합 자료구조 개념

💡 서로소 집합 자료구조 - “서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조”

 

수학에서 서로소 집합이란 공통원소가 없는 두 집합을 의미한다.

 

그래프 알고리즘이론에서의 서로소 집합 자료구조란 “서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조”라고 볼 수 있다. 서로소 집합 자료구조는 union과 find 이 2개의 연산으로 조작할 수 있다.

 

union(합집합) 연산은 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산이다.

 

find 연산은 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산이다. 스택과 큐가 각각 push 와 pop 연산으로 이루어졌던 것 처럼, 서로소 집합 자료구조는 합집합과 찾기 연산으로 구성된다.

 

서로소 집합 자료구조는 union-find 자료구조라고 불리기도 한다.

 

1-2. 서로소 집합 자료구조 원리

  1. union(합집합) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.
    1. A와 B의 루트 노드 A’, B’를 각각 찾는다.
    2. A’를 B’의 부모 노드로 설정한다. (B’가 A’를 가리키도록 한다)
  2. 모든 union(합집합) 연산을 처리할 때까지 1번 과정을 반복한다.

 

1-3. 기본적인 서로소 집합 알고리즘 구현

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
	#루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
	if parent[x] != x:
		return find_parent(parent, parent[x])
	return x

#두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
	a = find_parent(parent, a)
	b = find_parent(parent, b)
	if a < b:
		parent[b] = a
	else:
		parent[a] = b

#노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) #부모 테이블 초기화

#부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
	parent[i] = i

#union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
	a, b = map(int, input().split())
	union_parent(parent, a, b)

#각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합: ', end=' ')
for i in range(1, v + 1):
	print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

#부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블: ', end=' ')
for i in range(1, v + 1):
	print(parent[i], end=' ')-
  • 시간복잡도 : O(VM) ⇒ V는 노드의 개수, M은 연산의 개수

 

1-4. 개선된 서로소 집합 알고리즘 구현

위의 서로소 집합 알고리즘은 비효율적인 시간복잡도를 가지고 있다. 이 과정을 find 함수를 통해 아주 간단한 과정으로 최적화할 수 있다.

 

1-4-1. 경로압축 기법

경로 압축 기법은 find함수로 최적화하는 알고리즘이다. find 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블값을 갱신한다. 기존의 find 함수를 아래와 같이 변경한다.

def find_parent(parent, x):
	if parent[x] != x:
		parent[x] = find_parent(parent, parent[x]_
	return parent[x]

 

1-4-2 경로압축 기법을 적용한 서로소 집합 알고리즘

#특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parnet, x):
	#루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
	if parent[x] != x:
		parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
	return parent[x]

#두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
	a = find_parent(parent, a)
	b = find_parent(parent, b)
	if a < b:
		parent[b] = a
	else:
		parent[a] = b

#노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) #부모 테이블 초기화

#부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
	parent[i] = i

#union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
	a, b = map(int, input().split())
	union_parent(parent, a, b)

#각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합 :' , end=' ')
for i in range(1, v + 1):
	print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

#부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블: ', end=' ')
for i in range(1, v + 1):
	print(parent[i], end=' ')

 

  • 시간 복잡도 : O(V + M(1 + log V)) (로그 2-M/V를 밑으로 한 V)

 

2. 신장트리

💡 신장트리 - “하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프”

 

신장트리는 그래프 알고리즘으로 자주 출제되는 유형이다.

 

2-1. 크루스칼 알고리즘 개념

신장 트리 중에서 최소 비용으로 만들 수 있는 신장 트리를 찾는 알고리즘을 ‘최소 신장 트리 알고리즘’이라고 한다. 대표적인 신장 트리 알고리즘에는 크루스칼 알고리즘이 있다.

 

크루스칼 알고리즘을 사용하면 가장 적은 비용으로 모든 노드를 연결할 수 있다.

 

크루스칼 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다.

 

2-2. 크루스칼 알고리즘 원리

  1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.
  2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.
    1. 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.
    2. 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.
  3. 모든 간선에 대하여 2번 과정을 반복한다.
 💡 핵심 원리 : 정렬 후 가장 거리가 짧은 간선부터 차례대로 집합에 추가하면 된다 (사이클 발생시키는 간선 제외)

 

2-3. 크루스칼 알고리즘 구현

#특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
	#루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
	if parent[x] != x:
		parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
	return parent[x]

#두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
	a = find_parent(parent, a)
	b = find_parnet(parent, b)
	if a < b:
		parent[b] = a
	else :
		parent[a] = b

#노드의 개수가 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) #부모 테이블 초기화

#모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

#부모 테이블 상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
	parent[i] = i

#모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(e):
	a, b, cost = map(int, input(),split())
	#비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
	edges.append((cost, a, b))

#간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

#간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
	cost, a, b = edge
	#사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
	if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
		union_parent(parent, a, b)
		result += cost

print(result)

 

  • 시간복잡도 : O(ElogE) ⇒ E는 간선의 개수

 

3. 위상 정렬

💡 위상 정렬 : “방향 그래프의 모든 노드를 ‘방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것’”

 

위상 정렬은 정렬 알고리즘의 일종이다. 순서가 정해져있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할 때 사용할 수 있는 알고리즘이다.

 

3-1. 진입차수

진입차수란 특정한 노드로 ‘들어오는’ 간선의 개수를 의미한다. 그래프의 간선 중 방향이 나에게 2개 지목되는 것이 있다면, 진입차수는 2라고 할 수 있다.

이 진입 차수를 고려하여 주어진 방향 그래프에서 정렬을 수행하는 것이 위상정렬의 개념이다.

 

3-2. 위상정렬 동작 원리

  1. 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
  2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
    1. 큐에서 원소를꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.
    2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

 

만약 큐가 비었는데 모든 원소를 방문하지 않았다면 사이클이 존재한다고 할 수 있다.

사이클이 존재하는 경우 사이클에 포함되어 있는 원소 중에서 어떤 원소도 큐에 들어가지 못하기 때문이다.

 

다만, 일반적으로 위상 정렬 문제에서는 사이클이 발생하지 않는다고 명시하는 경우가 더 많다.

 

3-3. 위상정렬 코드 구현

from collections import deque

#노드의 개수와 간선의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
#모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
#각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트(그래프) 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)

#방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(e) :
	a, b = map(int, input().split())
	graph[a].append(b) #정점 A에서 B로 이동가능
	#진입차수를 1 증가
	indgree += 1

#위상 정렬 함수
def topology_sort():
	result = [] #알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
	q = deque() #큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용

	#처음 시작할 때는 진입 차수가 0인 노드를 큐에 삽입
	for i in range(1, v + 1):
		if indegree[i] == 0:
			q.append(i)

	#큐가 빌 때까지 반복
	while q:
		#큐에서 원소 꺼내기
		now = q.popleft()
		result.append(now)

		#해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
		for i in graph[now]:
			indegree[i] -= 1

			#새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
			indegree[i] == 0:
				q.qppend(i)

	#위상 정렬을 수행한 겨로가 출력
	for i in result :
		print(i, end=' ')

topology_sort()

 

  • 시간복잡도 : O(V + E)

 

4. 연관 문제

이제 그래프 알고리즘에 대한 개념 학습은 끝났다. 바로 실제 문제를 풀어보자!

[백준]

[프로그래머스]

[SWEA]

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